Qin2017は立命館大学経済学部の秦 劼教授によるものであり、科研費研究課題「後悔回避、価格変動と市場効率性：感情と市場のフィードバックから考察する」で報告されたものである。
Qin2017では、証券の期待リターンはRegret-CAPM（後悔CAPM、RCAPM）というモデルで表され、証券の期待リターンは市場の平均的なリターンと仮想リターンの差に影響を受けることを示している。
RCAPMにおいては、市場の平均的リターンが大きく、仮想リターンが小さくなるほど、各証券のリターンが大きくなることが示される他、その感応度は共分散によって決まることも明らかになる。
本記事の内容に関する責任は運営者にあり、秦教授とは関係ない。
本記事は下記書籍の内容を参考にしているため、合わせて参照してほしい。
目次
- 「後悔（regret、リグレット）」と金融経済学・ファイナンス
- 市場と証券に関する設定
- 個人の修正効用関数(modified utility function)
- Regret-CAPM（後悔CAPM、RCAPM）
「後悔（regret、リグレット）」と金融経済学・ファイナンス
後悔が意思決定に及ぼす影響は少なくなく、心理学や行動経済学の分野では、後悔に関する人間の振る舞いが研究されている。しかし、従来のファイナンス理論で想定される合理的投資家モデルでは、後悔の存在は捨象されてきた。
合理的投資家モデルの多くはフォワード・ルッキングな意思決定を前提としており、過去の意思決定の結果がどうであろうと、投資家は将来を見据え、期待効用を最大化するよう行動する。
このようなパラダイムが支配的なこともあり、金融経済学において後悔の影響が研究され始めたのは、最近になってのことである。
後悔を意思決定に反映させる方法はいくつかあるが、Qin2017では、投資家は自分が選択したポートフォリオのリターンと、選択しなかった仮想的ポートフォリオを比較し、運用結果の優劣で後悔（リグレットregret）や「喜び」（以下、リジョイスrejoice）を感じる。
後悔やリジョイスは、後悔関数によって測定され、シンプルな金融市場の設定の下で、CAPMと酷似したシングルベータモデルが導出される。
Qin2017ではこれをRegret-CAPM（後悔CAPM、RCAPM）と呼び、CAPMと対比しているが、マーケット・ベータではなく「後悔ベータ」というリスク概念を導入し、市場平均リターンと実際の平均値の差を反映するモデルを導いている。
市場と証券に関する設定
市場には\( I\)人の個人がおり、\( N\)種類の危険資産と1つの安全資産を取引する。各リスク資産は多変量正規分布に従うと仮定する。
各証券の総量は1に基準化しておく。
時点0において各個人は各々の資産配分を決定し、期待効用を最大化させるようなポートフォリオを選択する。時点1ですべて清算され、消費に回される。
個人\( i\)の証券\( j\)の保有比率を\( w_{ij}\)と表すと、当該個人が享受する収益率\( l_i\)と期末時点の富\( W_{i,1}\)は
\[ \begin{split}
l_i&=r_f+\sum_{j=1}^N w_{ij}(r_j-r_f)\\
W_{i,1}&=W_{i,0}\left( 1+l_i\right)
\end{split} \]となる。
個人の修正効用関数(modified utility function)
各個人は将来時点において自分のポートフォリオを仮想的ポートフォリオと比較し、後悔やリジョイスを得る。これを定式化するため、個人\( i\)は次のような修正効用関数（modified utilitu function）を持つと仮定する。
\[ \begin{split}
V_i(W_{i,1})=W_{i,1}+f_i(W_{i,1}-H_i)
\end{split} \]
修正効用関数\( V_i(W_{i,1})\)は第一項\(W_{i,1} \)と第二項\( f_i(W_{i,1}-H_i)\)とに分解されるが、第一項は富に関して線形でありリスク中立的効用関数を表している一方、第二項は後悔回避性を反映する項である。
\( f_i\)は連続な単調増加凹関数であり、リスク回避的な効用関数と同様の関数形を仮定する。また、二階の微分の期待値が有限値をとる、つまりを\( E\left[ |f''_i(W_{i,1}-H_i)|\right]<\infty\)仮定する。
\( H_i\)は個人\(i\)の仮想的ポートフォリオの価値であり、実際に選択したポートフォリオと比較され、後悔とリジョイスの源泉となる。
仮想ポートフォリオの価値は仮想リターン\( h_i\)を用いて
\[ \begin{split}
H_i=W_{i,0}(1+h_i)
\end{split} \]と表されるが、\( h_i\)に特定のポートフォリオのリターンは仮定しない。
例えば安全運用を仮想ポートフォリオとする場合は\( h_i=r_f\)、市場ポートフォリオを仮想ポートフォリオとする場合は\( h_i=r_m\)である。
2つのリターン\( l_i\)と\(h_i\)を明示して修正効用関数を表すと、
\[ \begin{split}
V_i(W_{i,1})=W_{i,0}\left( 1+l_i\right)+f_i(W_{i,0}\left( l_i-h_i\right))
\end{split} \]となる。
Regret-CAPM（後悔CAPM、RCAPM）
各個人は期待修正効用関数を最大化させるようにポートフォリオを選択する。効用最大化問題は
\[ \begin{split}
max_{w_{ij}}E[V_i(W_{i,1})]
\end{split} \]である。
一階の条件より、
\[ \begin{split}
0&=E\left[ W_{i,0}\left(r_j-r_f \right)+f'_i\cdot W_{i,0}\left(r_j-r_f \right)\right]\\
\Leftrightarrow 0&=E\left[\left( 1+f'_i\right)\left(r_j-r_f \right) \right]
\end{split} \]
Stein's lemmaから
\[ \begin{split}
Cov\left( 1+f'_i,r_j-r_f\right)&=E[f''_i]W_{i,0}Cov\left( l_i-h_i,r_j-r_f\right)
\end{split} \]であり、左辺は\( E\left[\left( 1+f'_i\right)\left(r_j-r_f \right) \right]-E\left[1+f'_i\right]E\left[r_j-r_f \right]\)と書けるので、整理すると
\[ \begin{split}
E\left[r_j-r_f \right]\frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}=-W_{i,0}Cov\left( l_i-h_i,r_j-r_f\right)
\end{split} \]を得る。
この式に市場清算条件を加味し、個人を表す添え字\( i\)について集計すると
\[ \begin{split}
E\left[r_j\right]-r_f =-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}Cov\left( r_m-h_m,r_j\right)
\end{split} \]が得られる（記号の詳細はQin2017参照）。
\( r_m-h_m\)は集計レベルでの実際リターンと仮想リターンの差である。
この式からわかることは、証券\( j\)の超過リターン\( E\left[r_j\right]-r_f \)は、当該証券のリターンと「実際リターンと仮想リターンの差」との共分散\( Cov\left( r_m-h_m,r_j\right)\)によって決まるということである。
通常のCAPMでは、各証券の超過収益率は、市場ポートフォリオとの共分散で決定されたことを思い出そう。
さて、\( r_m\)は市場ポートフォリオのリターンであり、これもまた上式を満たすから、
\[ \begin{split}
E\left[r_m\right]-r_f =-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}Cov\left( r_m-h_m,r_m\right)
\end{split} \]が得られる。
また、\( h_m\)は仮想ポートフォリオのリターンであり、これもまた上式を満たすから、
\[ \begin{split}
E\left[h_m\right]-r_f =-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}Cov\left( r_m-h_m,h_m\right)
\end{split} \]が得られる。
2つの式の差を取れば
\[ \begin{split}
E\left[r_m\right]-E\left[h_m\right] &=-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}Cov\left( r_m-h_m,r_m-h_m\right)\\
&=-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}Var\left( r_m-h_m\right)\\
-M_0\left[ \sum \frac{ 1+E\left[f'_i\right]}{ E[f''_i]}\right]^{-1}&=\frac{ E\left[r_m\right]-E\left[h_m\right] }{Var\left( r_m-h_m\right) }
\end{split} \]が得られる。
よって証券\(j \)の超過リターンは
\[ \begin{split}
E\left[r_j\right]-r_f &=\frac{ E\left[r_m\right]-E\left[h_m\right] }{Var\left( r_m-h_m\right) }Cov\left( r_m-h_m,r_j\right)\\
&=\beta_{jg}\left( E\left[r_m\right]-E\left[h_m\right]\right)
\end{split} \]と表すことができる。
これがRegret-CAPM（後悔CAPM、RCAPM）である。
ここで\( \beta_{jg}\)は従来のCAPMに登場するマーケットベータではない。
\( \beta_{jg}\)は後悔ベータ（リグレット・ベータ）とも呼ぶべきものであり、証券\( j\)の超過収益率は\( \beta_{jg}\)が大きくなれば、大きくなることを示している。
\( \beta_{jg}\)は各証券のリターンを規定する感応度であり、それは共分散によって決まるということである。
また、\( E[r_m]-E[h_m]\)は後悔プレミアム（リグレット・プレミアム）とも呼ぶべきファクターである。
RCAPMにおいては、市場の平均的リターン\( E\left[r_m\right]\)が大きく、仮想リターン\( E\left[h_m\right]\)が小さくなるほど、各証券のリターン\( E[r_j]\)が大きくなることがわかる。
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