この記事ではまず、マートンのポートフォリオ問題の定式化を行い、効用関数と予算制約を特定化してハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式（HJB方程式）を得るところまでを見ていく。
確率制御、ダイナミック・プログラミングとハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式（HJB方程式）に関しては、以下の記事も参照して欲しい。
ダイナミック・プログラミング（動的計画法、DP）を直感的に理解する
HJB方程式を具体的に解く方法は、連載２つ目の以下の記事を参照して欲しい。
マートンのポートフォリオ問題を解く2（価値関数の推測と係数が満たす微分方程式）
本記事の内容は下記書籍の内容を参考にしているため、合わせて参照してほしい。
目次
マートンのポートフォリオ問題の定式化
市場は金融経済学の標準的な仮定を満たすとする。
投資家は安全資産と危険資産の2種類の資産で運用を行うモデルを考える。
安全資産の瞬間的なリターンは \[ \frac{dS_0(t)}{S_0(t)}=rdt\]危険資産の瞬間的なリターンは \[
\frac{dS_1(t)}{S_1(t)}=\mu dt+\sigma dz_t\]
とかけるとする。\( dz_t\)は標準ブラウン運動である。
投資家は、時点\( t\)において\( C_t dt\)の消費を行い、富の残りを投資に回す。
投資額に占める危険資産の割合を\( \omega_t\)で表すと、富\( W_t\)の変動は
\[
\begin{split}
dW_t&=\left[\omega_t\frac{dS_1(t)}{S_1(t)}+\left(1-\omega_{t}\right)\frac{dS_0(t)}{S_0(t)}\right]W_t-C_t dt\\
&=\left[\omega_t\left( \mu dt+\sigma dz_t\right)+\left(1-\omega_{t}\right)rdt\right]W_t-C_t dt\\
&=\omega_{t}\left(\mu-r\right)Wdt+(rW_t-C_t)dt+\omega_{t}W_t\sigma dz_t
\end{split}
\]と表せるので、これを予算制約とする。
\[
\begin{split}
dW_t&=\left[\omega_t\frac{dS_1(t)}{S_1(t)}+\left(1-\omega_{t}\right)\frac{dS_0(t)}{S_0(t)}\right]W_t-C_t dt\\
&=\left[\omega_t\left( \mu dt+\sigma dz_t\right)+\left(1-\omega_{t}\right)rdt\right]W_t-C_t dt\\
&=\omega_{t}\left(\mu-r\right)Wdt+(rW_t-C_t)dt+\omega_{t}W_t\sigma dz_t
\end{split}
\]と表せるので、これを予算制約とする。
投資家が以下の期待効用関数を最大化する問題を考える。
\[
\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[\int_{t}^{T}U\left(C_s, s\right)ds\right]
\]
\[
\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[\int_{t}^{T}U\left(C_s, s\right)ds\right]
\]
間接効用関数を
\[
J(W_t,t)=\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[\int_{t}^{T}U\left(C_s, s\right)ds\right]
\]で定義すると、ベルマン方程式は
\[
\begin{split}
0=&\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[U(C_t, t)+L[J]\right]\\
\end{split}
\]
で与えられる。ただし\( L[\cdot]\)はディンキン・オペレータ（無限小生成作用素）で
\[
\begin{split}
L[J]=&J_t+\left[\omega_t(\mu-r)W_t+(rW_t-C_t)\right] J_W+\frac{1}{2}\sigma^2\omega_t^2J_{WW}W_t^2
\end{split}
\]であって、\[
\begin{split}
J_t&=\frac{ \partial J(W,t)}{ \partial t}\\
J_W&=\frac{ \partial J(W,t)}{ \partial W}\\
J_{WW}&=\frac{ \partial^2 J(W,t)}{ \partial W^2}
\end{split}
\]である。
\[
J(W_t,t)=\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[\int_{t}^{T}U\left(C_s, s\right)ds\right]
\]で定義すると、ベルマン方程式は
\[
\begin{split}
0=&\underset{C_s, \left\{\omega_{s}\right\}, \forall s}{\max}E_t\left[U(C_t, t)+L[J]\right]\\
\end{split}
\]
で与えられる。ただし\( L[\cdot]\)はディンキン・オペレータ（無限小生成作用素）で
\[
\begin{split}
L[J]=&J_t+\left[\omega_t(\mu-r)W_t+(rW_t-C_t)\right] J_W+\frac{1}{2}\sigma^2\omega_t^2J_{WW}W_t^2
\end{split}
\]であって、\[
\begin{split}
J_t&=\frac{ \partial J(W,t)}{ \partial t}\\
J_W&=\frac{ \partial J(W,t)}{ \partial W}\\
J_{WW}&=\frac{ \partial^2 J(W,t)}{ \partial W^2}
\end{split}
\]である。
HJB方程式の導出についてはこちらの記事を参照してほしい。
\(C_s, \omega_{s}\)を最適に制御した場合には\(\max \)が外れて、HJB方程式は次のように表せる。
\[ \begin{split} 0=U(C_t^\ast, t)+J_t+\left[\omega_t^\ast(\mu-r)W_t+(rW_t-C_t^\ast)\right] J_W+\frac{1}{2}\sigma^2{\omega_t^\ast}^2J_{WW}W_t^2 \end{split} \]
\[ \begin{split} 0=U(C_t^\ast, t)+J_t+\left[\omega_t^\ast(\mu-r)W_t+(rW_t-C_t^\ast)\right] J_W+\frac{1}{2}\sigma^2{\omega_t^\ast}^2J_{WW}W_t^2 \end{split} \]
一階の条件とHARA型効用関数
最適化問題の一階の条件を考えよう。
消費に関する微分をゼロとおいて
\[ \begin{split} U_C(C_t^\ast, t)&=J_W(W_t, t)\\ \Leftrightarrow C_t^\ast&=U_C^{-1}(J_W(W_t, t), t) \end{split} \]を得る。ここで\( U_C^{-1}\)は限界効用関数の逆関数を表す。
\[ \begin{split} U_C(C_t^\ast, t)&=J_W(W_t, t)\\ \Leftrightarrow C_t^\ast&=U_C^{-1}(J_W(W_t, t), t) \end{split} \]を得る。ここで\( U_C^{-1}\)は限界効用関数の逆関数を表す。
また、投資比率に関する微分をゼロとおいて
\[ \begin{split}
0&=(\mu-r)W_tJ_W+\omega_t^\ast\sigma^2J_{WW}W_t^2\\
\Leftrightarrow\omega^\ast&=-\frac{ J_W}{W_tJ_{WW}}\frac{ \mu-r}{\sigma^2 }
\end{split} \]を得る。
効用関数\( U(C_t, t)\)として、次のようなHARA型効用を考える。
\[ \begin{split}
U(C_t, t)=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha C_t}{1-\gamma }+\beta \right)^\gamma
\end{split} \]
\[ \begin{split}
U(C_t, t)=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha C_t}{1-\gamma }+\beta \right)^\gamma
\end{split} \]
HARA型効用関数はファイナンス・金融経済学の文献で広く用いられる効用関数の一つであり、以下の記事で解説している。
HARA型効用関数の基本性質
HARA型効用関数の基本性質
HARA型効用を用いることで、指数型やベキ型などの標準的な効用関数を特殊ケースとして含められる上、有限期間まで生きる投資家を考察しておけば、終末時点の極限を取ることで無限期間生きる投資家を表現することもできるという利点がある。
さて、限界効用（消費\( C_t\)に関する偏微分）\( U_C\)は
\[ \begin{split}
U_C(C_t, t)=e^{-\rho t}\alpha\left(\frac{ \alpha C_t}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}
\end{split} \]であるから、限界効用関数の逆関数\( U_C^{-1}\)を計算すると
\[ \begin{split}
x&=e^{-\rho t}\alpha\left(\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}\\
\frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}&=\left(\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}\\
\left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}&=\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta\\
\left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta&=\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }\\
{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}&=U_C^{-1}\\
\end{split} \]である。
\[ \begin{split}
U_C(C_t, t)=e^{-\rho t}\alpha\left(\frac{ \alpha C_t}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}
\end{split} \]であるから、限界効用関数の逆関数\( U_C^{-1}\)を計算すると
\[ \begin{split}
x&=e^{-\rho t}\alpha\left(\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}\\
\frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}&=\left(\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta \right)^{\gamma-1}\\
\left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}&=\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }+\beta\\
\left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta&=\frac{ \alpha U_C^{-1}}{1-\gamma }\\
{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}x}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}&=U_C^{-1}\\
\end{split} \]である。
一階の条件の式に当てはめると、最適な消費は
\[ \begin{split}
C_t^\ast&={\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\end{split} \]と書けることがわかる。
\[ \begin{split}
C_t^\ast&={\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\end{split} \]と書けることがわかる。
また、この最適な消費を効用関数に代入すれば
\[ \begin{split}
U(C_t^\ast, t)&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha C_t^\ast}{1-\gamma }+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha}{1-\gamma }{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}
\end{split} \]を得る。
\[ \begin{split}
U(C_t^\ast, t)&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha C_t^\ast}{1-\gamma }+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha}{1-\gamma }{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta+\beta \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}
\end{split} \]を得る。
ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式（HJB方程式）
以上のように効用関数を特定化すると、HJB方程式は次のように変形できる。
\[ \begin{split} 0&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[-\frac{ J_W}{J_{WW}}\frac{(\mu-r)^2}{\sigma^2 } +rW_t-{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\right] J_W\\
&~+\frac{1}{2}\sigma^2\left\{ -\frac{ J_W}{W_tJ_{WW}}\frac{ \mu-r}{\sigma^2 } \right\}^2J_{WW}W_t^2 \\
\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[-\frac{ J_W}{J_{WW}}\frac{(\mu-r)^2}{\sigma^2 } +rW_t-{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\right] J_W\\
&~+\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\\
&=\underline{e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W\underline{-\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W}\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\\
&=\underline{e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\end{split} \]
\[ \begin{split} 0&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[-\frac{ J_W}{J_{WW}}\frac{(\mu-r)^2}{\sigma^2 } +rW_t-{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\right] J_W\\
&~+\frac{1}{2}\sigma^2\left\{ -\frac{ J_W}{W_tJ_{WW}}\frac{ \mu-r}{\sigma^2 } \right\}^2J_{WW}W_t^2 \\
\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[-\frac{ J_W}{J_{WW}}\frac{(\mu-r)^2}{\sigma^2 } +rW_t-{\frac{1-\gamma }{ \alpha}}\left\{ \left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}-\beta\right\}\right] J_W\\
&~+\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\\
&=\underline{e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W\underline{-\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W}\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\\
&=\underline{e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\end{split} \]
下線部の変形は\( 1+\frac{ 1}{\gamma-1 }=\frac{ \gamma-1+1}{\gamma-1 }=\frac{ \gamma}{\gamma-1 }\)に注意して
\[ \begin{split}
&e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-e^{-\rho t}e^{\rho t}\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-e^{-\rho t}\left( 1-\gamma\right)\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}
\end{split} \]と計算している。
\[ \begin{split}
&e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-e^{-\rho t}e^{\rho t}\frac{1-\gamma }{ \alpha}\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ 1}{ \gamma-1}}J_W\\
&=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}-e^{-\rho t}\left( 1-\gamma\right)\left(\frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}
\end{split} \]と計算している。
まとめると、HARA型効用のもとでのHJB方程式は
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\end{split} \]である。
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\end{split} \]である。
参考文献
[1]Marton, Continuous-Time Finance[2]Pennacchi, Theory of Asset Pricing
[3]Poon, Advanced Finance Theories
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